Прореживание оцифрованного сигнала и анти-алиасинговая фильтрация

При цифровой обработке больших массивов данных, оцифрованных с достаточно высокой частотой дискретизации для сокращения времени выполнения операций иногда уместно применение операции прореживания сигнала.

Пусть S(n) – исходный сигнал размерностью N, оцифрованный с частотой дискретизации Fs, S2(k) – сигнал размерностью K=N/p после операции прореживания в p раз .

S2(k) = S(p·k), где k – номер отчета, p-коэффициент прореживания (количество отчетов в выборке S2 будет в p раз меньше количества отчетов в выборке S).

После выполнения прореживания частота дискретизации сигнала S2 уменьшается в  p раз - Fs2 = Fs/p. Таким образом, уменьшив число отчетов в исходной выборке, мы автоматически уменьшаем частоту дискретизации в p раз. Если частота наивысшей гармоники в спектре исходного сигнала Fh меньше частоты дискретизации Fs2 не менее чем в два раза (2·Fh < Fs2 – теорема Котельникова-Шеннона), то операцию прореживания можно выполнять без каких-либо опасений. Если же условие теоремы Котельникова-Шеннона нарушается, то при прореживании возникает стробоскопический эффект (алиасинг, aliasing). В этом случае перед прореживанием сигнала в исходной выборке необходимо отсечь все частоты выше половины  новой частоты дискретизации Fs2, т.е. организовать цифровой фильтр низких частот. Такой вид фильтрации называется антиалиасинговой.

Приведем наглядный пример стробоскопического эффекта при прореживании исходного оцифрованного сигнала. На рисунке 1 приведена осциллограмма результата оцифровки сигнала с частотой дискретизации Fs, содержащего две гармонические составляющие: низкочастотную с частотой равной Fl =0,0001 ∙ Fs и амплитудой равной 5 и высокочастотную с частотой равной Fh = 0,0482∙ Fs и амплитудой равной 1. Для данного сигнала условие теоремы Котельникова-Шеннона выполняется, поэтому он оцифрован без искажений.

Проведем прореживание данного оцифрованного сигнала в 41 раз. Тогда частота дискретизации Fs2= Fs/41, Fl =0,0001 ∙ Fs= 0,0041∙ Fs2, Fh =0,0482∙ Fs= 1,9762∙ Fs2.

Для частоты Fl с новой частотой оцифровки условие теоремы Котельникова-Шеннона выполняется, но для частоты Fh оно выполняться перестает, так как 2·Fh > Fs2. В результате без применения перед прореживанием фильтра низких частот, отфильтровывающего все частотные составляющие выше частоты 0,5∙Fs2, после прореживания сигнала мы получаем ложную низкочастотную составляющую, отсутствующую в исходном сигнале с частотой, которую можно определить по следующим формулам:

Fnew = Fs2/2 – (Fh mod Fs2/2), когда Fh div Fs2/2 – нечетное число,

Fnew = Fh mod Fs2/2, когда Fh div Fs2/2 – четное число,

где Fs2/2 = 0,5∙Fs2.

Оценим ложную частотную составляющую.

Fh = 1,9762∙Fs2;

Fs2/2 = 0,5∙Fs2;

Fh div Fs2/2 =  (1,9762∙ Fs2) div (0,5∙Fs2) = 3,9524∙ Fs2 div  Fs2 = 3,9524 div 1 = 3

Следовательно,  Fnew = Fs2/2 – (Fh mod Fs2/2) = Fs2/2 – (1,9762∙ Fs2 mod Fs2/2) = Fs2/2 – (3,9524∙ Fs2/2 mod Fs2/2) = Fs2/2 - 0,9524∙ Fs2/2 = 0,0476∙Fs2/2 = 0,0238∙Fs2. Таким образом, мы получим ложную низкочастотную составляющую с частотой 0,0238∙Fs2. На рисунке 2 представлена осциллограмма после прореживания сигнала.

Рисунок 2 – Ложная низкочастотная составляющая после прореживания

Теперь попробуем отфильтровать исходный оцифрованный сигнал с помощью простейшего цифрового фильтра – скользящего среднего с окном усреднения в Fs/Fh = Fs/ 0,0482∙ Fs = 21 семплов. На рисунке 3 представлен результат фильтрации.

Рисунок 3 – Исходный сигнал, обработанный фильтром низких частот

После устранения из спектра сигнала частоты Fh можно смело применять операцию прореживания. На рисунке 4 представлен результат прореживания отфильтрованного сигнала. По рисунку 4 видно, что после применения антиалиасингового фильтра возникновение ложных частот после прореживания сигнала отсутствует.

Рисунок 4 – Результат прореживания отфильтрованного сигнала

Для антиалиасинговой фильтрации сигнала перед прореживанием в p раз можно воспользоваться алгоритмом  скользящего среднегос окном в p отчетов.

Кроме простейшего алгоритма скользящего среднего для антиалиасинговой фильтрации перед прореживанием сигнала удобно использовать КИХ-фильтры с заранее рассчитанной импульсной характеристикой.

Источник - http://dspsys.org