Преобразования не единственны

    Рассмотрим пространство Минковского и изотропный конус. Рассмотрим две точки М и М’ на поверхности изотропного конуса. Попробуем определить: есть ли единственность перевода точки М в точку М’, то есть, только ли известные преобразования Лоренца переводят М в М’.

    Преобразования должны быть ортогональны, чтобы преобразования входили в ортогональную группу, для которой существует инвариант двух точек, то есть интервал, что дает нам право задать метрическую форму.

    Рассматриваем, как получают условие ортогональности: оно начинается с рассмотрения вырожденности канонической квадратичной формы. Форма должна быть не вырожденной, тогда используется известная формула. Так как мы рассматриваем поверхность изотропного конуса, то форма у нас тождественный ноль, а значит вырождена. Это означает, что наша форма должна иметь на одну координату меньше, чем размерность пространства. (Все это общеизвестные факты, см. литературу.) Если точку М определяют координаты x,y,z,t, а точку М’ определяют координаты x’,y’,z’,t’, тогда преобразования Лоренца (не будем расписывать всем известные коэффициенты) выглядят:

t=At’+Bx’,   x=Dt’+Ex’ ,    y=y’,    z= z’,                                                                               (1)

Чтобы форма не была тождественно равна нулю, и чтобы в ней было не четыре координаты (так как размерность пространства четыре) нам необходимо зафиксировать, к примеру, координату  z=z^, z’=z^’. Разделим форму для x,y,z,t на z^, а форму для x’,y’,z’,t’ на z^’, а затем заменим все координаты:

T=t/z^, X= x/z^, Y=y/z^  и  T’=t’/z^’, X’=x’/z^’, Y’=y’/z^’,                                                 (2) ясно, что мы получили квадратичные формы в каноническом виде отличные от нуля (не будем их расписывать).

Подставим в (2) формулы (1), тогда (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты T,X,Y):

 T= AT’+BX’, X= DT’+EX’, Y=Y’,                                                                                         (3)

уравнения (3) в точности совпадают с известными преобразованиями Лоренца, а значит ортогональны. Что и требовалось доказать – это мы доказали с точки зрения специальной теории относительности.

    Но мы видим, что при введении произвольного коэффициента N для всех координат одновременно изменений в уравнениях (3) не произойдет, действительно, если                     t=N(At’+Bx’),   x=N(Dt’+Ex’) ,    y=Ny’,    z= Nz’,                                                                (4)

то уравнения (3) не изменятся, при этом сохранится их ортогональность, но уравнения (1) не будут единственными. Интервал, записанный в координатах (4) не изменяется, так как он - тождественный ноль, исследование на ортогональность по известным формулам не проводится, так как форма вырождена, но после того, как придем к не вырожденной форме (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты T,X,Y), преобразования координат будут ортогональны. Надо отметить, это возможно только на поверхности изотропного конуса.

И.В. Елкин