Обобщенная специальная теория относительности.

Категория: Техника и технологии | Автор: igorelki | Опубликовано: 02.08.2009

СТО – это частный случай данной теории, поэтому это не опровержение СТО.

Общие преобразования Лоренца используют математический аппарат, который опровергнуть невозможно. Если к ним добавить постулаты теории относительности и рассматривать пространство событий, описывающее физическое пространство, внутри всего светового конуса, то однозначно получаются коэффициенты преобразований из СТО. Если в пространстве событий рассмотреть поверхность светового (изотропного) конуса, то для этого подпространства можно ввести постоянный коэффициент для известных преобразований из СТО.
Можно рассмотреть вариант, когда СТО и сопутствующая СТО теория (ССТО) могут существовать одновременно.
Право на существование любых предложенных преобразований координат в пространстве Минковского – это:
1. существование инварианта двух точек, или неизменного интервала.
2. ортогональность предложенных преобразований.

(1. и 2. покажем при дальнейшем рассмотрении).

Изменение времени и расстояния обычного трехмерного пространства придвижении приводит нас к рассмотрению сигнала световых часов. Это означает, что мы рассматриваем событие прихода светового сигнала на зеркало и отправление сигнала от зеркала . Это означает, что информация об этих событиях могла быть доставлена только световым сигналом, что соответствует поверхности светового конуса.
Так как мы рассматриваем движение тела относительно наблюдателя, то приближение или удаление тела, движение трансверсально, будут восприниматься разными наблюдателями по-разному. Поэтому наблюдатели находятся не в одинаковых условиях. При этом один наблюдатель видит одни размеры движущегося тела, другой другие. Ведь никого не удивляет разница звука приближающегося и удаляющегося поезда – разная длина волны звука у одного поезда.
Рассмотрение движения световых часов приводит к изучению расстояния между часами и наблюдателем или к полярным координатам. При движении тела в полярных координатах известны две скорости $V_r$

и $V_\beta$ . Основное требование при таком рассмотрении – это сохранение пути сигнала в световых часах при разных положениях часов.
Запишем эти скорости в Декартовых координатах. При прямолинейном движении всегда ось $x$

можно направить параллельно прямой движения, значит координата $y$

у нас не меняется. Тогда:
$V_r =\frac{dr}{dt}=\frac{Wx}{\sqrt{y^2+x^2}}$ (1)
$V_\beta=\frac{rd\beta}{dt}=\frac{rd(\arctan\frac{y}{x})}{dt}=\frac{Wy}{\sqrt {x^2+y^2}}$
Где
$W=\frac{dx}{dt}$
В пространстве событий на световом конусе преобразования координат Лоренца могут быть изменены на постоянный множитель $J$

см. приложение 1:

$x=\frac{J(x^1+Vt^1)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$ (2)
$t=\frac{J(t^1+x^1\frac{V}{c^2})}{\sqrt{1-(\frac{V^2}{c^2})}}$
$y=Jy^1$

,
где
$J=\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{(1-\frac{V_r}{c})\sqrt{1-\frac{ V_\beta ^2}{c^2}}}$
$V=\sqrt {V_r^2+V_\beta ^2}$ – модуль скорости.
Получили преобразования:
x= $\frac{(x^1+Vt^1)}{(1-\frac{V_r}{c})(\sqrt{1-\frac{V_\beta ^2}{c^2}})}$ (3)
t= $\frac{(t^1+x^1\frac{V}{c^2})}{(1-\frac{V_r}{c})\sqrt {1-\frac{ V_\beta ^2}{c^2}}}$
y= $\frac{y^1\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{(1-\frac{V_r}{c})\sqrt{1-\frac{ V_\beta ^2}{c^2}}}$
z= $\frac{z^1\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{(1-\frac{V_r}{c})\sqrt {1-\frac{ V_\beta ^2}{c^2}}}$

Вернемся к вопросу об ортогональности преобразований (3) и наличии инварианта – интервала на поверхности изотропного конуса.
1. В случае преобразований (3) постоянный множитель $J$

может быть вынесен за скобку при вычислении интервала, в скобках остается вычисленный по СТО интервал, который на поверхности изотропного конуса =0. Следовательно, интервал в нашем случае с любой системе координат =0.
2. Ортогональность преобразований доказывается похожим способом см приложение 1.

Ясно, что при координате $x$

или при совпадении оси $y$

с осью

расстояние не меняется, поэтому $V_r$

=0 и все формулы переходят в известные преобразования Лоренца для СТО, с известными выводами.

x= $\frac{(x^1+Vt^1)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$ (4)
t= $\frac{(t^1+x^1\frac{V}{c^2})}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$
$y=y^1$

,
При совпадении оси $x$

и оси

или при

угол не меняется, поэтому можно считать $V_\beta$ =0 и преобразования координат будут из ССТО:

$x=\frac{(x^1+Vt^1)}{1-\frac{V}{c}}$ (5)
$t=\frac{(t^1+x^1\frac{V}{c^2})}{1-\frac{V}{c}}$
$y=\frac{y^1\sqrt{1+\frac{V}{c}}}{\sqrt{1-\frac{V}{c}}}$
$z=\frac{z^1\sqrt{1+\frac{V}{c}}}{\sqrt{1-\frac{V}{c}}}$
Обратные преобразования для (5) будут: решения уравнений(5) относительно штрихованных координат:

$x^1=\frac{(x-Vt)}{(1+\frac{V}{c})}$ (6)
$t^1=\frac{(t-x\frac{V}{c^2})}{1+\frac{V}{c}}$
$y^1=\frac{y\sqrt{1-\frac{V}{c}}}{\sqrt{1+\frac{V}{c}}}$
$z^1=\frac{z\sqrt{1-\frac{V}{c}}}{\sqrt{1+\frac{V}{c}}}$
Здесь рассматривается положительное значение $V= V_r$

– удаление.

Считаю важным отметить факт определения размеров. Так как рассматриваем все происходящее на световом конусе, и для того, чтобы рассматриваемые интервалы были бы пространственно подобными требуется рассмотрение различных наблюдателей из одной временной точки. А так как любое перемещение у нас связано с изменением координаты времени и так как мы рассматриваем все с точки зрения пути светового сигнала, то разные пространственные координаты означают и разные временные координаты. Поэтому, чтобы рассмотреть размеры разных тел надо совместить по пространственной координате движения всех наблюдателей и объекты измерения.

Литература: 1) Н.В. Ефимов, «Высшая геометрия», Москва, государственное издательство физико-математической литературы,1961г., печ. л. 36,25.
2) Г.Е. Шилов, «Математический анализ. Конечномерные линейные пространства», Москва, издательство «Наука», 1969 г., печ. л. 13,5.
3)Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, «Теория поля», Москва главная редакция физико-математической литературы, 1967г., печ. л. 28,75.

---------------------------------------------------------------------

Приложение 1.

Преобразования Лоренца не обладают единственностью.

Аннотация:
Практически весь аппарат физики зависит от преобразований координат.
Для реального физического пространства при соблюдении постулатов СТО, доказана единственность преобразований Лоренца. Но если рассмотреть некое подпространство (причем наиболее существенное при измерениях), то мы обнаружим не единственность этих преобразований, что важно практически и теоретически.

1.

Рассмотрим пространство событий (см. Н.Е. Ефимов «Высшая геометрия), описываемое геометрией Минковского. Построим световой конус, соответствующий изотропному конусу в пространстве Минковского.
Рассмотрим физическое пространство (считаем, что его описывает геометрия Евклида), выберем два события $M$

и
$\acute\\M$ , такие, что с ними можно связать две инерциальные системы отсчета, обозначим их $S$

и $\acute\\S$ .
События $M$

и $\acute\\M$ выберем так, чтобы точки $M$

и $\acute\\M$ , изображающие их в пространстве событий, находились на поверхности светового конуса. Попробуем определить: есть ли единственность перевода события $M$

в событие $\acute\\M$ , то есть, только ли известные преобразования Лоренца переводят $M$

в $\acute\\M$ .
Преобразования должны быть ортогональны, чтобы преобразования входили в ортогональную группу, для которой существует инвариант двух точек, то есть интервал, что дает нам право задать метрическую форму.

Вспомним, как определяется ортогональная группа. Аффинное преобразование:
$\acute\\x=a_{11}x+a_{12}y+c_1$ (1)
$\acute\\y=a_{21}x+a_{22}y+c_2$
Называется ортогональным, если его матрица его
$A={a_{ik}}$ (2)
Удовлетворяет условию:
$A\acute A=I$ , (3)
Где штрих обозначает операцию транспонирования, а $I$

- единичная матрица.
Инвариант двух точек $M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)$

(мы пока рассматриваем двухмерный случай):
$\rho(M_1,M_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ (4)
Из соотношения (3) следует система уравнений:
${a_1}^2+{a_2}^2=1$
${b_1}^2+{b_2}^2=1$ (5)
${a_1b_1}^2+{a_2b_2}^2=0$
Теперь если записать (4) для штрихованных координат, затем подставить преобразования координат, то с помощью (5) мы получим опять выражение (4), но уже с не штрихованными координатами.
Иначе говоря, мы получили инвариант двух точек. Можно получить условие ортогональности из инварианта двух точек.
Оба случая возможны, если квадратичная форма в виде нашего инварианта двух точек - не вырождена.
Естественно все можно расписать и для четырехмерного случая.
Так как мы рассматриваем поверхность светового конуса, то форма у нас тождественный ноль, а значит вырождена. Это означает, что наша форма должна иметь на одну координату меньше, чем размерность пространства. Все это общеизвестные факты (см. литературу). Если событие $M$

определяют координаты $x,y,z,t$

, а событие $\acute\\M$ определяют координаты $\acute\\x, \acute\\y, \acute\\z, \acute\\t$ , тогда преобразования Лоренца (не будем расписывать всем известные коэффициенты) выглядят:
$t=A\acute\\t+B\acute\\x$ , $x=D\acute\\t+E\acute\\x$ , $y=\acute\\y$ , $z= \acute\\z$ , (6)
Квадратичные формы для S и S’ выглядят соответственно:
$x^2+y^2+z^2-c^2t^2=0$

и $\acute\\x^2+\acute\\y^2+\acute\\z^2-c^2\acute\\t^2=0$ (7)
Чтобы форма не была тождественно равна нулю, и чтобы в ней было не четыре координаты (так как размерность пространства четыре, а при вырожденности формы уменьшают количество координат) нам необходимо зафиксировать, к примеру, координаты $z=\tilde\\z$ и $\acute\\z=\tilde\\\acute\\z$ . Разделим форму для $x,y,z,t$

на $\tilde\\z$ , а форму для $\acute\\x, \acute\\y, \acute\\z, \acute\\t$ на $\tilde\\\acute\\z$ , а затем заменим все координаты:
$T=\frac{t}{\tilde\\z}$ , $X=\frac{x}{\tilde\\z}$ , $Y=\frac{y}{\tilde\\z}$
и
$\acute\\T=\frac{\acute\\t}{\tilde\\\acute\\z}$ , $\acute\\X=\frac{\acute\\x}{\tilde\\\acute\\z}$ , $\acute\\Y=\frac{\acute\\y}{\tilde\\\acute\\z}$ (8)
ясно, что в итоге мы получили квадратичные формы в каноническом виде отличные от нуля:
$cT^2-X^2-Y^2=1$

и
$c\acute\\T^2-\acute\\X^2-\acute\\Y^2=1$ (9)

Подставим в (8) формулы (6), тогда (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты $T,X,Y$

легко получить:
$T= A\acute\\T+B\acute\\X, X= D\acute\\T+E\acute\\X, Y=\acute\\Y$ (10)
уравнения (10) в точности совпадают с известными преобразованиями Лоренца (для трехмерного пространства), а значит ортогональны. Что и требовалось доказать – это мы доказали с точки зрения специальной теории относительности.
Но мы видим, что при введении произвольного коэффициента N для всех координат одновременно изменений в уравнениях (10) не произойдет, действительно, если
$t=N(A\acute\\t+B\acute\\x)$ , $x=N(D\acute\\t+E\acute\\x)$ , $y=N\acute\\y$ , $z= N\acute\\z$ , (11)
то уравнения (10) не изменятся, при этом сохранится их ортогональность, но уравнения (6) не будут единственными. Интервал, записанный в координатах (11) не изменяется, так как он - тождественный ноль, исследование на ортогональность по известным формулам не проводится, так как форма вырождена, но после того, как придем к не вырожденной форме (в трехмерном пространстве, на котором заданы координаты $T,X,Y$

), преобразования координат будут ортогональны. Надо отметить, это возможно только на поверхности светового конуса.

Игорь Владимирович Елкин, физик

Комментарии

К этой статье пока нет комментариев. Станьте первым! У нас гости не могут комментировать статьи. Пожалуйста авторизуйтесь или зарегистрируйтесь, чтобы прокомментировать.

Свежие комментарии

Комментарий эксперта: Как изменения в налоговом законодательстве 2025 года перевернут привычный бухга...

Читать >>

Узбекистан является одним из крупнейших производителей текстильной продукции в Центральной Азии. Страна исторически специализировалась на выращивании ...
Читать >>

Читая статью про "зарождение инвестиций в Древнем Вавилоне", поймал себя на мысли, что мы упорно пытаемся натянуть современные экономические концепции...
Читать >>

Если раньше много времени уходило на подготовку материалов для конкурса, отправке по почте, то теперь это намного проще. И доступнее для каждого учите...
Читать >>

Зря вы так про аниме, есть прям крутые ужастики, с кровью и кишками, а есть где головой думать надо. К примеру доктор Стоун....
Читать >>