АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ПЛАНЕ ПРИМЕНИМОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Наличие различных методов синтеза оптимальных алгоритмов управления обусловливает проведение их анализа с целью выявления метода адекватного поставленной задаче и позволяющего синтезировать оптимальное управление в процессе функционирования объекта.

При использовании классического вариационного исчисления для динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, определение оптимального управления сводится к решению задач Майера, Лагранжа или Больца в зависимости от задаваемого критерия качества [1-5]. Решение этих задач основывается на методе множителей Лагранжа и исследовании вариаций расширенной функции. Необходимые условия экстремума функционала качества получаются из равенства нулю первой вариации расширенной функции, откуда вытекают уравнения Эйлера, записанные для всех координат и управлений, входящих в функционал. Для установления вида экстремума применяются условия Вейерштрасса-Эрдмана и Лежандра-Клебша. Недостающие граничные условия определяются из условия трансверсальности. Существенным недостатком классических вариационных методов является то, что они распространяются на динамические системы, определенные в открытых областях, что может привести к физически несуществующим регуляторам.

Принцип максимума Понтрягина [6,1,2,4,7] был обоснован как необходимый и достаточный признак оптимальности для линейных систем и как необходимый - для нелинейных систем, определяемых в замкнутых областях. Проблема оптимизации на основе принципа максимума сводится к решению двухточечной краевой задачи для систем 2n+1 дифференциальных уравнений (n - порядок исходной системы) и определению верхнего значения функции Гамильтона по m переменным (m - размерность вектора управления). Во многих задачах применение принципа максимума приводит к появлению особых режимов, сущность которых состоит в том, что функция Гамильтона либо не зависит явно от управлений, либо из нее управления определяются неоднозначно[8]. К тому же при отыскании оптимального управления приходится решать, в общем случае, существенно нелинейные уравнения Гамильтона по заданным краевым условиям. Это существенно усложняет алгоритм решения и часто приводит к тому, что сложные практические задачи должны решаться численно при подборе подходящих начальных условий в уравнениях Гамильтона методом проб [7].

Метод динамического программирования Беллмана позволяет решать вариационные задачи в замкнутых областях. Этот метод достаточно полно обоснован для оптимизации дискретных систем, в области которых лежит основная сфера его применения. При этом вариационная задача рассматривается как многоэтапный процесс решения более простых задач, а оптимальное управление отыскивается последовательно шаг за шагом в виде координатного управления в форме обратной связи [6,1,2,3,4]. При некоторых допущениях [7,8] метод динамического программирования применим непосредственно и к непрерывным системам, описываемым обыкновенными дифференциальными уравнениями. В этом случае вариационная задача сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных Беллмана-Гамильтона-Якоби с известными граничными условиями, что также как и в принципе максимума существенно усложняет задачу оптимизации [2,4,7,8].

Метод аналитического конструирования Летова-Калмана [9,10,1,2,4, 11] дает хорошие результаты в случае применения квадратичных функционалов для линейных систем. В некоторых случаях удается получить аналитическое выражение для определения оптимального управления в виде закона управления с обратной связью. В общем же случае приходится решать нелинейные уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби, а для линейных систем - нелинейное матричное уравнение Риккати, что связано с определенными трудностями вычислительного характера [9,12,1,2].

Для преодоления этих трудностей А.А.Красовским был предложен другой вариант метода аналитического конструирования - аналитическое конструирование по критерию обобщенной работы [12,9]. Данный метод коренным образом [13] облегчает синтез и исследование оптимальных систем за счет необходимости решения линейного уравнения Ляпунова в отличие от нелинейного уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби в методах динамического программирования и аналитического конструирования Летова-Калмана. Метод аналитического конструирования по критерию обобщенной работы позволяет обойти трудности, связанные с решением двухточечной краевой задачи [12], что дает возможность осуществлять совмещенный синтез управления, при котором синтез оптимальных управлений и само управление осуществляется практически одновременно в процессе функционирования объекта [13].

Проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, что решению поставленной задачи наиболее соответствует метод аналитического конструирования по критерию обобщенной работы.

Рассмотрим общую формулировку теоремы [9,12,13], охватывающую нелинейные нестационарные объекты с линейно входящим вектором управления. Аддитивность управления обусловлена условием, накладываемым методом аналитического конструирования. Пусть математическая модель объекта управления описывается следующими дифференциальными уравнениями:

(4.1)

где х – вектор состояния объекта управления;

f – дифференцируемая по всем аргументам нелинейная вектор-функция;

y – вектор управляющих воздействий;

u – скорость изменения y.

В модели (4.1) управление осуществляется изменением скорости воздействий y, а - сложная функция.

Требуется найти управление, минимизирующее функционал обобщенной работы на скользящем интервале (tu, tu+T):

, (4.2)

где Q – дифференцируемая по своим аргументам скалярная функция, характеризующая качество процесса управления на интервале (tu, tu+T);

К – диагональная матрица коэффициентов эффективности управлений;

tu – момент определения управляющих воздействий;

T – интервал прогнозирования.

Согласно [9,12,13], управление определяется из выражения

(4.3)

где V(t) – решение уравнения Ляпунова:

(4.4)

на свободном движении объекта (4.1) на интервале (tu, tu+T):

(4.5)

На свободном движении (4.5) левая часть (4.4) превращается в полную производную по t:

(4.6)