Физика упругого и неупругого ударов

УДК. 530.

      Введение

Существующие формулы расчёта скоростей движения тел после соударений лают  ошибочные  значения, которые иногда не соответствуют  закону сохранения импульсов, а потерю энергий объясняют энергией затраченной на остаточную деформацию тел и их нагрев.

Целью данной статьи является анализ физических процессов при столкновении тел, и предложить формулы расчёта скоростей движения их.

Поставленная щель достигается путём анализа импульсов движущихся тел во время столкновения , их величины и действие этих импульсов  на изменение скоростей движения тел после столкновения.                 

Абсолютно упругий удар. Абсолютно упругим  ударом  называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.  Для математического описания абсолютно упругих ударов используется закон сохранения энергии и закон сохранения импульсов.                                                                                                 

Автор предлагает формулы для определения скоростей движения после  столкновения двух тел:                                                                                                                                     для первого тела -  u1 = {(m1 – m2)v + 2m2v} / m1 + m2,                                                 для второго тела -   u2   = {(m2 – m1)v + 2m1v} / m1 + m2.                                                     В этих формулах  величины                                                                                                       (m1 – m2)v + 2m2v = m1 v – m2v + 2m2v = m1 v + m2v- есть сумма импульсов тел до столкновения, которая действует на сумму масс тел. Таким образом мы получаем обе скорости  с равными значениями. Что не возможно для тел с разными массами. Фактически сумма импульсов тел  действует на каждое тело.                                             

     Рассмотрим пример по известному методу расчёта, выполненный автором.        Тело m1 массой 2m движется со скоростью v и ударяет тело m2 массой m движущееся навстречу со скоростью v.                                                                                                     

Автор даёт скорости движения тел после удара:                                                                  скорость первого тела                                                                                                            u1 = {(m1 – m2)v + 2m2v} / m1 + m2 ={(m – 2m)v + 2*mv} / m +2m =v / 3м. / сек.,            скорость второго тела                                                                                                            u2   = {(m2 – m1)v + 2m1v} / m1 + m2 = {(m –2m)v + 2*2mv} / m1 + m2 = 5v / 3 м. / сек.. 

 В этом расчёте допущены ошибки:                                                                                         

1. значения масс второго слагаемого  в формулах  не соответствуют принятым обозначениям, вместо значения m1 подставлено значение m2 инаоборот.                   

2.формулы дают удивительные результаты.  Первое тело с массой  2 m получило скорость движения после столкновения 5v / 3 м. / сек. большую, чем второе тело массой m равную - v / 3 м. / сек.,                                                                                           

3. Закон сохранения импульсов не выполняется.  До столкновения                                         2m v - m v = m v, а после столкновения  m 5v / 3 - m v / 3 = 4 m v / 3.                                                                                                                                                                               

 Для правильного  решения  необходимо  подставлять в формулы значения величин в соответствие  примера и выполнять математические правила.                                         

 В этом случае мы получим скорости движения: первого тела -                                          u1  = {(m1 – m2)v + 2m2v} / m1 + m2 = {(2m – m)v +2 m v} / m1  + m2 = v,               второго тела -                                                                                                                             u2   = {(m2 – m1)v + 2m1v} / m1 + m2 = {(m – 2m)v +2*2mv} / m1  + m2 = v. 

 Полученные  результаты дали, что изменение скоростей движения тел после столкновения не произошло, что соответствует указанной ошибке ранее.  Из этого следует, что формулы расчёта скоростей движения тел после столкновения ошибочны.                                                                                                                                                     

Рассмотрим физические процессы, возникающие при упругом ударе тел.     Два тела, движущиеся навстречу, при ударе будут деформированы каждое  от векторной суммы импульсов  m1 v1 + m2 v2 и получат скорости движения равные:                                 

 для первого тела -  u1 = (m1v1+ m2v2)/ m1,                                                                       для второго - u2 = (m1v1+ m2v2)/ m2.                                                                                   

Из скоростей движения тел до столкновения необходимо вычесть скорости движения тел от действия импульсов  получим фактические скорости движения тел после столкновения:                                                                                                                         

для первого тела  u1 = v1 - (m1v1+ m2v2)/ m1,                                                                    для второго тела   u2 = v2 - (m1v1+ m2v2)/ m2.                                                                

  Определим скорости движения тел по выше предложенному примеру:                     

 для первого тела -                                                                                                                      u1 = v1 - (m1v1+ m2v2)/ m1 = v - {(2mv + mv) v/ 2m} = v - 3 v/2 = - v / 2 м. сек., отрицательное значение говорит, что скорость движения изменила своё направление, 

для второго тела –                                                                                                                        u2 = v2 - (m1v1+ m2v2)/ m2  = v2 - (2m v + mv) / m  = v - 3 v  = - 2v м. сек..                     

Так как сумма импульсов действует на оба тела, то скорость движения второго тела, с меньшей массой, будет иметь большую скорость движения.                                           

Сумма импульсов до столкновения  равна                                                                            m1v 1 - m2 v2 = 2 m v  -  m v = m v.                                                                                         

Сумма импульсов после столкновения  равна                                                                         m1 u1 - m2 u2 = 2 m v / 2 -  1m2 v = m v.                                                                       

 Закон сохранения импульсов выполняется. 

Потеря кинетической энергии первым телом, при уменьшении скорости движения       Δ v1 = v - v / 2 = v / 2 м. / сек.,   равна -                                                                                Δe1 =  m1 (v – Δ v1)^2 / 2 - m1 v^2 / 2 = m1 v^2 / 2 - m1 v Δ v1  + m1 Δ v1^ 2 / 2 -            - m1 v^2 / 2 = - m1 v Δ v1  + m1 Δ v1^ 2 / 2 = - 2mvv/ 2 + 2mv^2 / 4*2 = 3mv^2/ 4 дж. , 

  Увеличение кинетической энергии вторым телом, , при увеличении скорости движения Δ v2 = 2 v - v  = v  м. / сек., равно   –                                                                                       Δe2 =  m2 (v + Δ v2)^2 / 2 – m2 v^2 / 2 = m2 v^2 / 2 + m2 v Δ v2 + m2 Δ v2^2  / 2 -            - m2 v^2 / 2 = m2 v Δ v2 + m2 Δ v2^ 2 / 2 = m v v + m v ^2 / 2 = 3m v ^2 / 2 дж.

Закон сохранения энергии не выполняется,  потеря кинетической энергии первым телом  - 3mv2/ 4 дж. не равна увеличение кинетической энергии вторым телом -             3m v 2 / 2 дж.                                                                                                             

 Суммарное изменение кинетической энергии равно                                                         ΔЕ1  =  Δe2 – Δe1 = 3m v^ 2 / 2 - 3mv^2/ 4 = 3mv^2/ 4 дж., т.е. кинетическая энергия  тел после столкновения  увеличилась.

Определим  обычным способом кинетическую энергию тел до столкновения:              первого тела -    ЕК1 = m1 v^ 2 / 2 = 2 m v^ 2 / 2 = m v^ 2дж.,                                              второго тела -   ЕК2 = m2 v^ 2 / 2 = m v^ 2 / 2 дж.                                                               

Сумма равна ЕК1 + ЕК2 = m v^ 2 + mv^2 / 2 = 3 m v^ 2 / 2 дж.                                         

Кинетическую энергию тел после столкновения:                                                                первого тела -   ЕК1П = m1  u1^2 / 2 = 2 m v^ 2 / 4*2  = m v ^2/ 4 дж,                                второго тела  -   ЕК2П = m2 u2^2 / 2 = m4 v^ 2 / 2 =  2 m v^ 2 дж.                                     

Сумма равна ЕК1П + ЕК2П = mv^2 / 4 + 2m v^ 2   = 9 m v ^2 / 4 дж..                               

Кинетической энергии тел после столкновения больше кинетической энергии до столкновения                                                                                                                         

 ΔЕ2 = (ЕК1П + ЕК2П) -   (ЕК1 + ЕК2) = 9 m v ^2 / 4 -  3m v^ 2 / 2   = 3 m v^ 2 / 4 дж.         

  Закон сохранения энергии не выполняется.                                                                   

При столкновении двух тел, движущихся в одном направлении, формулы скоростей движения тел имеют вид:                                                                                                   

 для первого тела         u1 = v1 - (m1 v1 - m2 v2 ) / m1,                                                            для первого тела         u2 = v2 +  (m1 v1 - m2 v2 ) / m2.

Рассмотрим второй пример.                                                                                                 

 Тело m1 массой m движущегося со скоростью v1  = v и столкнувшегося с телом m2 массой m, движущимся в том же направлении со скоростью v2 = v /2  будем иметь скорость движения:                                                                                                             

 для первого тела                                                                                                                        u1 = v1 - (m1 v1 - m2 v2 ) / m1 = v - m(v - v /2) / m - v = 3 v/ 2  - v = v/ 2,                       

для второго тела -                                                                                                                   u2 = v2 +  (m1 v1 - m2 v2 ) / m2 =  m(v - v /2) / m + v /2 = v.                                       

Законы сохранения импульсов и кинетической энергии выполняются, так как скорости движения тел с одинаковыми массами поменялись.                                                           

 В этом случае отсутствует потеря кинетической энергии на нагрев и остаточную деформацию тел и это будет при любой скорости движения тел с одинаковыми массами.                            

Таким образом, при упругом столкновении тел законы сохранения импульсов выполняются, а законы сохранения  кинетической энергии не всегда выполняются.

                                                                                                                                                    Неупругий удар

Два шара m1 = 3m, m2 = m ,,  с u1 = 3 , u2 = 1,  испытывают абсолютно неупругий дар друг с другом.                                                                                                                         

По закону сохранения импульса  m1u1 + m2u2 = ( m1 + m2)u.                                         

Отсюда можно выразить скорость двух шаров, двигающихся после соударения как единое целое                                                                                                                             u = (m1u1 + m2u2) / m1 + m2. =  (3m*3 +1m*1)/ 3m + 1m = 2,5 м. сек.                         

Кинетические энергии:                                                                                                             до   удара    К1 = m1u1^2/ 2 + m2u2^2/ 2 =  3*3^2 / 2 + 1*12 / 2 = 14 дж.                          и после удара   К2 = (m1+ m2) u^2 / 2 =  (3 + 1) 2,5^2 / 2 =12,5 дж.                                   

    Кинетическая энергия уменьшилась ΔК = К1 - К2 = 14 -12,5 = 1,5 дж.                       

 Уменьшение кинетической энергии, по предлагаемому способу, первого тела, при уменьшении скорости движения  на                                                                                       Δ u1 = u1 – u = 3 – 2,5 = 0,5м. / сек. равно                                                                          ΔЕ1 = m1(u1 - Δu1)^2 / 2- m1u12 / 2 = m1u1^2 / 2 - m1u1 Δu1+ m1 Δu1^2 / 2 -                   - m1u1^2 / 2 = - m1u1 Δu1+ m1 Δu1^2 / 2 = - 3*3*0,5 + 3*0,5^2 / 2 = 4,125дж.               

  Увеличение энергии второго тела, , при увеличении скорости движения  на                    Δ u2 = u  -  u2  =  2,5 - 1 = 1,5м. / сек,. равно                                                                     ΔЕ2 = m2(u1+ Δu2)^2 /2- m2u1^2 / 2 = m2u1^2 / 2 + m2u1 Δu2 + m2Δu2^2/ 2 -               - m2Δu2^2 / 2 = m2u1 Δu2 + m2u2^2 / 2 = 1*1*1,5 + 1*1,5^2 / 2 = 2,625дж.                     

 Потеря кинетической энергии составляет                                                                             ΔЕ = ΔЕ1 - ΔЕ2 = 4,125 - 2,625 = 1,5дж. , т.е. равна при расчёте обычным способом       ΔК = 1,5 дж.                                                                                                                   

 Потеря кинетической энергии расчётами доказано, что она возникает при изменении скоростей движения тел. Потеря этой энергии на остаточную деформацию или нагрев тел в расчётах отсутствует.  Некоторые учёные эту потерю энергии списывают на нагрев тела и его остаточную деформацию, но  в расчётах она не присутствует. При наличии таких потерь обязательно скорости движения тел должны уменьшать свои значения при упругом и неупругом столкновениях тел.

 Заключение

При соударении двух движущихся тел, каждое тело деформируются под действием импульсов равных векторной их суммы. После под действием упругой деформации каждое тело приобретает скорость движения равную частному от деления векторной  суммы векторов на массу каждого тела. Полученные скорости движений необходимо вычесть от скоростей движения тел до столкновения, при встречном направлении их движения, и при одном направлении движения тел до соударения необходимо, для тела с большей скоростью движения вычесть полученную скорость движения, а для тела с меньшей скоростью движения суммировать с полученной скоростью движения тела. Закон сохранения импульсов всегда выполняется, а закон сохранения энергии не всегда, а только для тел с одинаковой массой.                 Потери кинетических энергий при любом виде столкновений тел на нагрев и остаточную деформацию обязательно  повлекут уменьшение рассчитанных скоростей движения.